सरल रेखा x cos alpha + y sin alpha = p वृत्त | vedclass

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Question

(D) वृत्त $S = 0$ और रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0

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$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$

Vedclass · Answer

(D) वृत्त $S = 0$ और रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और $L = x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ है। अतः,वृत्त का समीकरण $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$ है। चूंकि $AB$ व्यास है,इस वृत्त का केंद्र रेखा $L = 0$ पर स्थित होना चाहिए। वृत्त $(x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda p) = 0$ का केंद्र $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ है। इसे $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ में रखने पर: $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha - p = 0$ $-\frac{\lambda}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$ $-\frac{\lambda}{2} = p \Rightarrow \lambda = -2p$। $\lambda = -2p$ को समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$।

सरल रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ वृत्त $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ को $A$ और $B$ पर काटती है। तो $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण क्या है?

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