વર્તુળ $x^2+y^2-2x-3=0$ ને સ્પર્શતી અને વર્તુળ $x^2+y^2-4y-6=0$ ને અભિલંબ હોય તેવી સીધી રેખા કઈ છે?

આપેલ ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાનો જવાબ આપો.
ધારો કે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=9$ અને $C_2: (x-3)^2+(y-4)^2=16$ એ બિંદુઓ $X$ અને $Y$ પર છેદે છે. ધારો કે બીજું વર્તુળ $C_3: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ નીચેની શરતો સંતોષે છે:
$(i)$ $C_3$ નું કેન્દ્ર $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો સાથે સમરેખ છે.
$(ii)$ $C_1$ અને $C_2$ બંને $C_3$ ની અંદર આવેલા છે.
$(iii)$ $C_3$ એ $C_1$ ને $M$ પર અને $C_2$ ને $N$ પર સ્પર્શે છે.
ધારો કે $X$ અને $Y$ માંથી પસાર થતી રેખા $C_3$ ને $Z$ અને $W$ પર છેદે છે,અને ધારો કે $C_1$ અને $C_3$ નો સામાન્ય સ્પર્શક એ પરવલય $x^2=8 \alpha y$ નો સ્પર્શક છે.
$List-I$ માં કેટલીક અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવી છે જેના મૂલ્યો નીચે $List-II$ માં આપેલા છે:

$List-I$	$List-II$
$(I) \ 2h + k$	$(P) \ 6$
$(II) \ \frac{\text{Length of } ZW}{\text{Length of } XY}$	$(Q) \ \sqrt{6}$
$(III) \ \frac{\text{Area of triangle } MZN}{\text{Area of triangle } ZMW}$	$(R) \ \frac{5}{4}$
$(IV) \ \alpha$	$(S) \ \frac{21}{5}$
	$(T) \ 2\sqrt{6}$
	$(U) \ \frac{10}{3}$

$(1)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર ખોટી જોડી છે?
$(1) (IV), (S) \quad (2) (IV), (U) \quad (3) (III), (R) \quad (4) (I), (P)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર સાચી જોડી છે?
$(1) (II), (T) \quad (2) (I), (S) \quad (3) (I), (U) \quad (4) (II), (Q)$

ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2=4x$ પરનું બિંદુ છે જે વર્તુળ $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ ના કેન્દ્ર $S$ થી સૌથી ટૂંકા અંતરે છે. ધારો કે $Q$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે જે રેખાખંડ $SP$ નું આંતરિક વિભાજન કરે છે. તો
$(A)$ $SP=2\sqrt{5}$
$(B)$ $SQ:QP=(\sqrt{5}+1):2$
$(C)$ $P$ આગળ પરવલયના અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $6$ છે
$(D)$ $Q$ આગળ વર્તુળના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે

જો બિંદુ $P(a, b/2)$ માંથી વર્તુળ $2(x^2 + y^2) - 2ax - by = 0$ $(a \ne 0, b \ne 0)$ પર બે જીવાઓ દોરી શકાય,જે દરેક $x$-અક્ષ દ્વારા દુભાગતી હોય,તો:

જો વક્રો $ax^2+by^2=1$ અને $cx^2+dy^2=1$ લંબરૂપે છેદતા હોય, તો $\frac{b-a}{d-c}=$

બે લંબકોણીય વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ પૈકી દરેક બિંદુઓ $(2,0)$ અને $(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે. જો $y=mx+c$ એ આ વર્તુળોનો સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો