योगफल,sum_{n=1}^{7} frac{n(n+1)(2n+1)}{4} किस | vedclass

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Question

(C) दिया गया योगफल $S = \sum_{n=1}^{7} \frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$ है।हम जानते हैं कि प्रथम $n$ वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

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$504$

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(C) दिया गया योगफल $S = \sum_{n=1}^{7} \frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$ है।हम जानते हैं कि प्रथम $n$ वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।इसलिए,$n(n+1)(2n+1) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2$ है।इस मान को व्यंजक में रखने पर,$S = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{7} (6 \sum_{k=1}^{n} k^2) = \frac{6}{4} \sum_{n=1}^{7} \sum_{k=1}^{n} k^2$ प्राप्त होता है।वैकल्पिक रूप से,अंश का विस्तार करने पर: $n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n$।अतः,$S = \frac{1}{4} \left( 2 \sum_{n=1}^{7} n^3 + 3 \sum_{n=1}^{7} n^2 + \sum_{n=1}^{7} n ight)$।मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:$\sum_{n=1}^{7} n^3 = \left( \frac{7 	imes 8}{2} ight)^2 = 28^2 = 784$।$\sum_{n=1}^{7} n^2 = \frac{7 	imes 8 	imes 15}{6} = 140$।$\sum_{n=1}^{7} n = \frac{7 	imes 8}{2} = 28$।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S = \frac{1}{4} (2(784) + 3(140) + 28) = \frac{1}{4} (1568 + 420 + 28) = \frac{2016}{4} = 504$।

योगफल,$\sum_{n=1}^{7} \frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$ किसके बराबर है?

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