frac{1}{1} + frac{1}{1 + 2} + frac{1}{1 + 2 + | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + k} = \frac{1}{\frac{k(k + 1)}{2}} = \frac{2}{k(k + 1)}$ द्वारा दिया जाता है।आंशिक भिन्न क

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$\frac{2(n + 1)}{n + 2}$

Vedclass · Answer

(D) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + k} = \frac{1}{\frac{k(k + 1)}{2}} = \frac{2}{k(k + 1)}$ द्वारा दिया जाता है।आंशिक भिन्न का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $T_k = 2 \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right]$।$(n + 1)$ पदों का योग $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} T_k = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2 \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right]$ है।योग का विस्तार करने पर: $S_{n + 1} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) \right]$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_{n + 1} = 2 \left[ 1 - \frac{1}{n + 2} \right]$ बचता है।व्यंजक को सरल करने पर: $S_{n + 1} = 2 \left[ \frac{n + 2 - 1}{n + 2} \right] = \frac{2(n + 1)}{n + 2}$।

$\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots$ श्रेणी के $(n + 1)$ पदों का योग क्या है?

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