2(cos ^{-1} x)^2-pi cos ^{-1} x+frac{pi^2}{4} | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = 2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ है।माना $y = \cos ^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $y \in [0, \pi]$ है।अत

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$\frac{11 \pi^2}{8}$

Vedclass · Answer

(B) माना $f(x) = 2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ है।माना $y = \cos ^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $y \in [0, \pi]$ है।अतः $f(y) = 2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{4}$ है।पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(y) = 2(y^2 - \frac{\pi}{2}y) + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8}$ है।$y \in [0, \pi]$ के लिए,न्यूनतम मान $y = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8}$ है।अधिकतम मान सीमा $y = \pi$ पर प्राप्त होता है (क्योंकि $|\pi - \frac{\pi}{4}| > |0 - \frac{\pi}{4}|$) है।$f(\pi) = 2(\pi - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{3\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^2}{8} = \frac{9\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{4}$ है।अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $\frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$ है।

$2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग क्या है?

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यदि $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ और $g(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$ है,तो $0 < a < \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a>0$ के लिए, यदि $f(x)=ax+b$ अंतराल $[-1,1]$ से $[0,2]$ पर एक आच्छादक (onto) फलन है, तो $\cot \left[\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}\right]=$

$x$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $x>0$ और $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ है।

माना $x = \sin(2 \tan^{-1} \alpha)$ और $y = \sin(\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{4}{3})$ है। यदि $S = \{\alpha \in R : y^2 = 1 - x\}$ है,तो $\sum_{\alpha \in S} 16 \alpha^3$ का मान $...........$ है।

${\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}} \right)$ का ${\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

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