श्रेणी (1^2 + 1) cdot 1! + (2^2 + 1) cdot 2! | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = (n^2 + 1) \cdot n!$ है।हम $n^2 + 1$ को $n(n + 1) - (n - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$T_n = [n(n + 1) - (n - 1)] \c

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$n \cdot (n + 1)!$

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(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = (n^2 + 1) \cdot n!$ है।हम $n^2 + 1$ को $n(n + 1) - (n - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$T_n = [n(n + 1) - (n - 1)] \cdot n! = n(n + 1) \cdot n! - (n - 1) \cdot n!$.चूंकि $(n + 1) \cdot n! = (n + 1)!$,इसलिए $T_n = n \cdot (n + 1)! - (n - 1) \cdot n!$.मान लीजिए $f(n) = n \cdot (n + 1)!$ है। तो $T_n = f(n) - f(n - 1)$.योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} [f(k) - f(k - 1)]$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = f(n) - f(0)$.$f(n) = n \cdot (n + 1)!$ और $f(0) = 0 \cdot 1! = 0$.इसलिए,$S_n = n \cdot (n + 1)!$.

श्रेणी $(1^2 + 1) \cdot 1! + (2^2 + 1) \cdot 2! + (3^2 + 1) \cdot 3! + \dots + (n^2 + 1) \cdot n!$ का योग है:

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