ધારો કે $S_n$,$S_{2n}$ અને $S_{3n}$ એ સમાંતર શ્રેણીના અનુક્રમે $n$,$2n$ અને $3n$ પદોનો સરવાળો છે. સાબિત કરો કે $S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n)$.

(N/A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d] = 2an + 2n^2d - nd$.
અને $S_{3n} = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3an + \frac{3n(3n-1)d}{2}$.
હવે,પદ $3(S_{2n} - S_n)$ ધ્યાનમાં લો:
$S_{2n} - S_n = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d] = \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d]$.
આને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $3(S_{2n} - S_n) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d] = S_{3n}$ મળે છે.
આમ,$S_{3n} = 3(S_{2n} - S_n)$ સાબિત થાય છે.