एक अवमंदित दोलक (damped oscillator) के कंपन क | vedclass

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Question

(C) एक अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है कि $t$ समय पर $A(t) = 0.25 A_0 = \frac{A_0}{4}$,इसलिए:$\fr

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$\frac{t}{4}$

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(C) एक अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है कि $t$ समय पर $A(t) = 0.25 A_0 = \frac{A_0}{4}$,इसलिए:$\frac{A_0}{4} = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}} \implies \frac{1}{4} = e^{-\frac{bt}{2m}} \implies 4 = e^{\frac{bt}{2m}}$.दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(4) = \frac{bt}{2m} \implies 2\ln(2) = \frac{bt}{2m} \implies t = \frac{4m \ln(2)}{b} \quad ... (1)$एक अवमंदित दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E(t) = E_0 e^{-\frac{bt}{m}}$ द्वारा दी जाती है।दिया गया है कि $t'$ समय पर $E(t') = 0.5 E_0 = \frac{E_0}{2}$,इसलिए:$\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-\frac{bt'}{m}} \implies \frac{1}{2} = e^{-\frac{bt'}{m}} \implies 2 = e^{\frac{bt'}{m}}$.दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(2) = \frac{bt'}{m} \implies t' = \frac{m \ln(2)}{b} \quad ... (2)$समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:$\frac{t'}{t} = \frac{m \ln(2) / b}{4m \ln(2) / b} = \frac{1}{4} \implies t' = \frac{t}{4}$.

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