$1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી છ અંકની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા કેટલી છે,જો દરેક અંક સંખ્યામાં ઓછામાં ઓછી એક વાર આવવો જોઈએ?

જો કોઈ $m, n$ માટે,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ અને ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ હોય,તો ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે અગિયાર અક્ષરો $A, B, ....., K$ એ પૂર્ણાંકો $(1, 2, ....., 11)$ ના કોઈપણ ક્રમચય (permutation) દર્શાવે છે. તો,ગુણાકાર $(A - 1)(B - 2)(C - 3) ..... (K - 11)$ નું સ્વરૂપ શું હશે?

$1000$ અને $10000$ ની વચ્ચેની એવી કેટલી સંખ્યાઓ છે જેમાં અંકો $3$ અને $7$ માત્ર એક જ વાર પુનરાવર્તન વગર આવે છે?

$100$ અને $1000$ ની વચ્ચેની કુલ કેટલી સંખ્યાઓ અંકો $1, 2, 3, 4, 5$ નો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય,જો અંકોનું પુનરાવર્તન ન થાય અને સંખ્યાઓ $3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય?

ધારો કે $x$ એ $3$ સમાન લાલ દડા,$4$ સમાન વાદળી દડા અને $5$ સમાન લીલા દડા ધરાવતી થેલીમાંથી ઓછામાં ઓછો એક દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $y$ એ એવી રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે જેમાં એક વિદ્યાર્થી પરીક્ષામાં નાપાસ થઈ શકે,જ્યારે તેણે $5$ અલગ-અલગ વિષયોમાં પરીક્ષા આપવાની હોય. તો $x+y=$