एक चक्रीय चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ 2 और 5 | vedclass

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Question

(C) माना भुजाएँ $2, 5, a, b$ हैं। $2$ और $5$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। माना $c$ विकर्ण है।प्रथम त्रिभुज में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग

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$12$

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(C) माना भुजाएँ $2, 5, a, b$ हैं। $2$ और $5$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। माना $c$ विकर्ण है।प्रथम त्रिभुज में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:$c^2 = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5)\cos(60^{\circ}) = 4 + 25 - 10 = 19 \implies c = \sqrt{19}$.चूंकि चतुर्भुज चक्रीय है,सम्मुख कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।दूसरे त्रिभुज में कोज्या नियम का उपयोग करने पर:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(120^{\circ}) \implies 19 = a^2 + b^2 + ab$.चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है:$	ext{Area} = \frac{1}{2}(2)(5)\sin(60^{\circ}) + \frac{1}{2}ab\sin(120^{\circ}) = 4\sqrt{3}$.$5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight) + \frac{ab}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight) = 4\sqrt{3} \implies 5 + \frac{ab}{2} = 8 \implies ab = 6$.अब,$a^2 + b^2 = 19 - 6 = 13$.$a=2, b=3$ प्राप्त होता है,अतः परिमाप $= 2 + 5 + 2 + 3 = 12$.

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मान लीजिए $p, q$ और $r$ एक त्रिभुज के शीर्षलंब (altitudes) हैं जिसका क्षेत्रफल $S$ और परिमाप $2t$ है। तब, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ का मान है

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