int limits_0^{2 pi} min {|x-pi|, cos ^{-1}(co | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$ है।फलन $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(x) = x$,जब $

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$\frac{\pi^2}{2}$

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(B) माना $I = \int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$ है।फलन $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(x) = x$,जब $x \in [0, \pi]$$f(x) = 2\pi - x$,जब $x \in [\pi, 2\pi]$फलन $g(x) = |x-\pi|$ इस प्रकार परिभाषित है:$g(x) = \pi - x$,जब $x \in [0, \pi]$$g(x) = x - \pi$,जब $x \in [\pi, 2\pi]$इन फलनों का आलेख खींचने पर,समाकलन $0$ से $2\pi$ तक इन दो वक्रों के न्यूनतम भाग के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है। ये वक्र $x = \pi/2$ और $x = 3\pi/2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।आलेख के अनुसार,छायांकित क्षेत्र दो त्रिभुजों से बना है,जिसका कुल क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes \pi 	imes \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} 	imes \pi 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2}$ है।

$\int \limits_0^{2 \pi} \min \{|x-\pi|, \cos ^{-1}(\cos x)\} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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वक्र $y = x^2 + 2$ और रेखाओं $y = x$,$x = 0$ तथा $x = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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परवलय $y^2 = x$ वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ को दो भागों में विभाजित करता है,जिनके क्षेत्रफलों का अनुपात है

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