int_0^2 [x^2] dx का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ [x] | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंत

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$5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंतराल $[0, 2]$ में इन बिंदुओं को ज्ञात करते हैं। $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ पर $x^2$ के मान क्रमशः $1, 2, 3, 4$ हैं। हम समाकलन को उप-अंतरालों में विभाजित करते हैं: $I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx$. अंतराल $[0, 1)$ में,$0 \le x^2 अंतराल $[1, \sqrt{2})$ में,$1 \le x^2 अंतराल $[\sqrt{2}, \sqrt{3})$ में,$2 \le x^2 अंतराल $[\sqrt{3}, 2)$ में,$3 \le x^2 अतः,$I = \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx$. $I = 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$. $I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$. $I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

$\int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है)

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