^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડ

Vedclass · Accepted Answer

$2^{4n - 2} + (-1)^n 2^{2n - 1}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડે વિભાજ્ય સૂચકાંકો ધરાવતા પદોનો સરવાળો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S = \frac{1}{4} \left[ (1+1)^{4n} + (1-1)^{4n} + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 0 + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
તેથી,$(1+i)^{4n} = (\sqrt{2})^{4n} e^{in\pi} = 2^{2n} (\cos(n\pi) + i\sin(n\pi)) = 2^{2n} (-1)^n$.
તે જ રીતે,$(1-i)^{4n} = 2^{2n} (-1)^n$.
આમ,$(1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} = 2 \cdot 2^{2n} (-1)^n = 2^{2n+1} (-1)^n$.
આ કિંમતને $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 2^{2n+1} (-1)^n \right] = 2^{4n-2} + 2^{2n-1} (-1)^n$.

$^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

જો $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ... + C_nx^n$ હોય,તો $C_0 + C_2 + C_4 + C_6 + ...$ ની કિંમત શું થાય?

જો $C_j = {}^{n}C_j$ હોય,તો $C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n = $

જો $^nC_0 + \frac{1}{2} ^nC_1 + \frac{1}{3} ^nC_2 + \dots + \frac{1}{n+1} ^nC_n = \frac{1023}{10}$ હોય, તો $n =$ શોધો.

ધારો કે $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$. તો $3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. તો સરવાળો $\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2$ એ કયા અંતરાલમાં આવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module