int sin sqrt{x} , dx का मान किसके बराबर है? | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sin \sqrt{x} \, dx$.$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$,जिससे $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में रखन

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$2 \sin \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} \cos \sqrt{x} + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sin \sqrt{x} \, dx$.$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$,जिससे $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \sin t \cdot (2t) \, dt = 2 \int t \sin t \, dt$.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = t$ और $dv = \sin t \, dt$:$I = 2 \left[ t(-\cos t) - \int 1 \cdot (-\cos t) \, dt \right]$$I = 2 [ -t \cos t + \int \cos t \, dt ]$$I = 2 [ -t \cos t + \sin t ] + c$$I = 2 \sin t - 2t \cos t + c$.$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर:$I = 2 \sin \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} \cos \sqrt{x} + c$.

$\int \sin \sqrt{x} \, dx$ का मान किसके बराबर है?

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