int frac{dx}{x(x^{n}+1)} का मान क्या है? | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^{n}+1)}$.अंश और हर को $x^{n-1}$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^{n-1} dx}{x^{n}(x^{n}+1)}$.माना $t = x^{n}$,तब $dt

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{n} \log \left(\frac{x^{n}}{x^{n}+1}\right)+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^{n}+1)}$.अंश और हर को $x^{n-1}$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^{n-1} dx}{x^{n}(x^{n}+1)}$.माना $t = x^{n}$,तब $dt = nx^{n-1} dx$,जिसका अर्थ है $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n}$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{dt/n}{t(t+1)} = \frac{1}{n} \int \frac{dt}{t(t+1)}$.आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.$I = \frac{1}{n} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$.$I = \frac{1}{n} (\log |t| - \log |t+1|) + C$.$I = \frac{1}{n} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$.$t = x^{n}$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{n} \log \left( \frac{x^{n}}{x^{n}+1} \right) + C$.

$\int \frac{dx}{x(x^{n}+1)}$ का मान क्या है?

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