$m$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+m}{2}$,समतल $2x-4y+z=7$ में स्थित है।

$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{CD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ दो सदिश हैं। बिंदु $A$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-9\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं। रेखा $AB$ पर एक बिंदु $P$ और रेखा $CD$ पर एक बिंदु $Q$ के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ताकि $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ दोनों के लंबवत हो।

समतलों $x + 2y + z - 1 = 0$ और $2x + y + 3z - 2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और समतल $x + y + z - 1 = 0$ के लंबवत समतल का समीकरण है। यदि यह समतल $x + ky + 3z - 1 = 0$ के समानांतर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $r = (i + 2j - k) + \lambda (i - j + k)$ और समतल $r \cdot (2i - j + k) = 4$ के अभिलंब के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

दर्शाइए कि बिंदु $(\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})$ और $3(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ समतल $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ से समान दूरी पर हैं और इसके विपरीत दिशाओं में स्थित हैं।