यदि समीकरण int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3 | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$. चूंकि $x$,$t$ से स्वतंत्र है,हम इसे $x \int_0^{x^2} f(t) dt = x^5 - x^3$ के रूप में लिख सकत

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(D) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$. चूंकि $x$,$t$ से स्वतंत्र है,हम इसे $x \int_0^{x^2} f(t) dt = x^5 - x^3$ के रूप में लिख सकते हैं। $x$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है $\int_0^{x^2} f(t) dt = x^4 - x^2$. लेबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2)$. $f(x^2) \cdot (2x) = 4x^3 - 2x$. $f(x^2) = \frac{4x^3 - 2x}{2x} = 2x^2 - 1$. $f(1)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = 1$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $x = 1$. $f(x^2)$ के व्यंजक में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $f(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$. अतः,$f(1)$ का मान $1$ है।

यदि समीकरण $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$ दिया गया है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\varphi (x) = \int_{1/x}^{\sqrt{x}} \sin(t^2) \, dt$ है,तो $\varphi'(1) = $

$\int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \cdot \sin^2 6\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

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