sum_{r=2}^{infty} frac{1+2+dots+(r-1)}{r !} क | vedclass

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Question

(C) प्रथम $(r-1)$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{(r-1)r}{2}$ द्वारा दिया जाता है।इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{(

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$\frac{e}{2}$

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(C) प्रथम $(r-1)$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{(r-1)r}{2}$ द्वारा दिया जाता है।इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{(r-1)r}{2 \cdot r!}$ प्राप्त होता है।चूंकि $r! = r(r-1)(r-2)!$, व्यंजक सरल होकर $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{2(r-2)!}$ हो जाता है।अचर $\frac{1}{2}$ को बाहर निकालने पर, हमें $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!}$ प्राप्त होता है।माना $k = r-2$. जैसे $r$, $2$ से $\infty$ तक जाता है, $k$, $0$ से $\infty$ तक जाता है।अतः, व्यंजक $\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} e$ हो जाता है।

$\sum_{r=2}^{\infty} \frac{1+2+\dots+(r-1)}{r !}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$1 + \frac{2^4}{2!} + \frac{3^4}{3!} + \frac{4^4}{4!} + \dots \infty = $

$1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \dots \infty = $

$\frac{2}{2!} + \frac{2+4}{3!} + \frac{2+4+6}{4!} + \dots$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}(\frac{k(k+1)}{k!})$ का मान है :

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