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Question

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t-\int_{x+y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$.गुणधर्म $\int_{b}^{

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$e^{\sin ^{2} y}$

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(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t-\int_{x+y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$.गुणधर्म $\int_{b}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{b} f(t) dt$ का उपयोग करने पर:$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t + \int_{a}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t$.यह $\frac{0}{0}$ रूप है, अतः $L$'$H$ôpital नियम और Leibniz समाकलन नियम का उपयोग करने पर:$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t}{\frac{d}{dx} (x)}$$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin ^{2}(x+y)} \cdot (1) - 0}{1} = e^{\sin ^{2} y}$.

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t-\int_{x+y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$ का मान है

मान लीजिए $f(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} e^{-t^2} dt$. तो $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ का मान जहाँ $f'(x) = 0$ होता है,है:

यदि $\int_0^{t^2} xf(x)dx = \frac{2}{5}t^5, t > 0,$ है,तो $f\left( \frac{4}{25} \right) = $

माना $H(x) = \int_{x^2}^{x^3} (x + 1) \sin(t^3) dt$ है। तो $\lim_{x \to 1} \frac{H(x)}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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