$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t-\int_{x+y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય $f$ સમીકરણ $\int_{0}^{36} f(\frac{tx}{36}) dt = 4\alpha f(x)$ નું સમાધાન કરે છે. જો $y = f(x)$ એ $(2, 1)$ અને $(-4, \beta)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતો પ્રમાણિત પરવલય હોય, તો $\beta^{\alpha}$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

જો $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$ હોય,જ્યાં $f$ એ સતત વિધેય છે,તો $f(4)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક સતત એકી વિધેય છે,જે ફક્ત એક જ બિંદુએ શૂન્ય થાય છે અને $f(1) = \frac{1}{2}$ છે. ધારો કે $F(x) = \int_{-1}^x f(t) dt$ બધા $x \in [-1, 2]$ માટે અને $G(x) = \int_{-1}^x t|f(f(t))| dt$ બધા $x \in [-1, 2]$ માટે છે. જો $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{1}{14}$ હોય,તો $f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

અંતરાલ $[0, \pi]$ માં સમીકરણ $\frac{d}{dx} \int_{\cos x}^{\sin x} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = 2\sqrt{2}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?