$\lambda$ का वह मान जिसके लिए सरल रेखा $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$, समतल $x-2y=0$ पर स्थित हो, है

समतलों $\pi_1 \equiv x+3y-6=0$ और $\pi_2 \equiv 3x-y+4z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ है। यदि समतल $\pi$ मूल बिंदु से इकाई दूरी पर है,तो समतल $\pi$ का एक समीकरण है

वृत्त $x^{2} + y^{2} = 1, z = 0$ पर स्थित एक बिंदु से समतल $2x + 3y + z = 6$ पर डाले गए लंब का पाद निम्नलिखित में से किस वक्र पर स्थित है?

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं:

तीन रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}, \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r} = \hat{k} + \mu \hat{j}, \mu \in R$,और $L_3: \overrightarrow{r} = \hat{i} + \hat{j} + v\hat{k}, v \in R$ दी गई हैं। $L_2$ पर स्थित किस बिंदु (बिंदुओं) $Q$ के लिए हम $L_1$ पर एक बिंदु $P$ और $L_3$ पर एक बिंदु $R$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $P, Q$ और $R$ संरेख हों?

यदि एक समतल $P$ बिंदुओं $(1,0,0)$ और $(0,1,0)$ से होकर गुजरता है और समतल $x+y=3$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है, तो उस समतल $P$ के अभिलंब के दिक अनुपात ज्ञात कीजिए।