$\sin ^{-1}(\sin 100) + \cos ^{-1}(\cos 100) + \tan ^{-1}(\tan 100) + \cot ^{-1}(\cot 100)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$,$0 < x < 1$ માટે. તો :

$\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right) = $

જો સમીકરણ $\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2}{x}-1}$ નું સમાધાન કરતું $x$ નું મૂલ્ય $\frac{a}{b}$ હોય (જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે),તો $a^2 + b^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

કોઈપણ $y \in R$ માટે,ધારો કે $\cot ^{-1}(y) \in(0, \pi)$ અને $\tan ^{-1}(y) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $0 < |y| < 3$ માટે સમીકરણ $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ ના તમામ ઉકેલોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $E_1 = \{x \in R : x \neq 1 \text{ અને } \frac{x}{x-1} > 0\}$ અને $E_2 = \{x \in E_1 : \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1})) \text{ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે}\}$. (અહીં,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\sin^{-1} x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે). ધારો કે $f : E_1 \rightarrow R$ એ $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $g : E_2 \rightarrow R$ એ $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. $LIST I$ ની વસ્તુઓને $LIST II$ સાથે જોડો.