નિશ્ચિત સંકલન intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,તેથી $dx = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi \ln 2}{16}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,તેથી $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$. જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $	an 	heta = 1$,તેથી $	heta = \pi/4$.સંકલન આ મુજબ બનશે: $I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.$1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ હોવાથી,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) \,d	heta$.ગુણધર્મ $\int\limits_0^a f(x) \,dx = \int\limits_0^a f(a-x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) \,d	heta$.$	an(\pi/4 - 	heta) = \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}$ હોવાથી,$1 + 	an(\pi/4 - 	heta) = 1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta} = \frac{2}{1 + 	an 	heta}$.તેથી,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \,d	heta = \frac{1}{2} [	heta \ln 2]_0^{\pi/4} - I$.$2I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \ln 2 = \frac{\pi \ln 2}{8}$.આમ,$I = \frac{\pi \ln 2}{16}$.

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = $

$\int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x=$

જો $\alpha = 1$ અને $\beta = 1 + i\sqrt{2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ એ સમીકરણ $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ ના બે બીજ છે, જ્યાં $a, b, c \in R$, તો $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ ની કિંમત શોધો:

$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module