निश्चित समाकलन intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,अतः $d

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi \ln 2}{16}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 \,dx = \sec^2 	heta \,d	heta$,अतः $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.जब $x = 0$,तो $	heta = 0$. जब $x = 1/2$,तो $	an 	heta = 1$,अतः $	heta = \pi/4$.समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta \,d	heta$.चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए $I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) \,d	heta$.गुणधर्म $\int\limits_0^a f(x) \,dx = \int\limits_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) \,d	heta$.चूंकि $	an(\pi/4 - 	heta) = \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}$,इसलिए $1 + 	an(\pi/4 - 	heta) = 1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta} = \frac{2}{1 + 	an 	heta}$.अतः,$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \,d	heta = \frac{1}{2} [	heta \ln 2]_0^{\pi/4} - I$.$2I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \ln 2 = \frac{\pi \ln 2}{8}$.अतः,$I = \frac{\pi \ln 2}{16}$.

निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$ का मान किसके बराबर है?

Similar Questions

यदि $I = \int_0^{\pi /4} \sin^2 x \, dx$ और $J = \int_0^{\pi /4} \cos^2 x \, dx$ है,तो $I = $

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $f(x) = \sin |x| + \cos |x|$ और $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

यदि $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$ है,तो $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^{3} + x \cos x + \tan^{5} x + 1) dx$ का मान क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module