निश्चित समाकलन int limits_0^{pi / 2} frac{sin | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ है।$\cos ^2 x = t$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवक

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$\frac{\pi}{8}$

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(A) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ है।$\cos ^2 x = t$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 \cos x (-\sin x) d x = d t$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos x d x = -\frac{1}{2} d t$ है।समाकलन की सीमाएँ बदलने पर:जब $x = 0$,तब $t = \cos ^2(0) = 1$ है।जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \limits_1^0 \frac{-1/2}{1+t^2} d t = \frac{1}{2} \int \limits_0^1 \frac{1}{1+t^2} d t$ प्राप्त होता है।समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$I = \frac{1}{2} [	an ^{-1}(t)]_0^1 = \frac{1}{2} (	an ^{-1}(1) - 	an ^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$।

निश्चित समाकलन $\int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ का मान क्या है?

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यदि $I_{1}=\int_{0}^{\pi / 2} x \sin x \, dx$ और $I_{2}=\int_{0}^{\pi / 2} x \cos x \, dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\int_0^1 \frac{x}{(1-x)^{3/4}} dx = $

मान लीजिए $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$,सभी वास्तविक $x$ के लिए। तो,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{2\pi} |\sin^3 \theta| \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{1}^{3} (x - 1)(x - 2)(x - 3) \, dx = $

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