समाकल int_{-1}^{1}left{frac{x^{2015}}{e^{mid | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$. समाकल को दो भागों में विभाजित करें: $I =

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$2\left(1-e^{-1}\right)$

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(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$. समाकल को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$. माना $f(x) = \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)}$ और $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}}$. सममिति की जाँच करें: $f(-x) = \frac{(-x)^{2015}}{e^{|-x|}((-x)^2 + \cos(-x))} = \frac{-x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} = -f(x)$. अतः, $f(x)$ एक विषम फलन है। $g(-x) = \frac{1}{e^{|-x|}} = \frac{1}{e^{|x|}} = g(x)$. अतः, $g(x)$ एक सम फलन है। चूँकि $f(x)$ विषम है, $\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$. चूँकि $g(x)$ सम है, $\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} g(x) dx$. इसलिए, $I = 0 + 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1}$. $I = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.

समाकल $\int_{-1}^{1}\left\{\frac{x^{2015}}{e^{\mid x \mid}\left(x^{2}+\cos x\right)}+\frac{1}{e^{\mid{x} \mid}}\right\} d x$ का मान किसके बराबर है?

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