समाकलन int_{-1}^{1} frac{d}{dx} left( tan^{-1 | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = 	an^{-1} \frac{1}{x}$ है। समाकलन $\int_{-1}^{1} f'(x) dx = [f(x)]_{-1}^{1} = f(1) - f(-1)$ है।यहाँ $f(1) = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}

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$-\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = 	an^{-1} \frac{1}{x}$ है। समाकलन $\int_{-1}^{1} f'(x) dx = [f(x)]_{-1}^{1} = f(1) - f(-1)$ है।यहाँ $f(1) = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ और $f(-1) = 	an^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ है।चूँकि $x = 0$ पर फलन असतत है,यह एक अनुचित समाकलन है: $\int_{-1}^{1} f'(x) dx = \lim_{\epsilon 	o 0^+} \int_{-1}^{-\epsilon} f'(x) dx + \lim_{\delta 	o 0^+} \int_{\delta}^{1} f'(x) dx$.$= [f(-\epsilon) - f(-1)] + [f(1) - f(\delta)] = (	an^{-1}(-1/\epsilon) - 	an^{-1}(-1)) + (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(1/\delta))$.जब $\epsilon, \delta 	o 0$,तब $	an^{-1}(-1/\epsilon) 	o -\frac{\pi}{2}$ और $	an^{-1}(1/\delta) 	o \frac{\pi}{2}$ होता है।परिणाम $= (-\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{4})) + (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$.

समाकलन $\int_{-1}^{1} \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \frac{1}{x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx =$

यदि ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^n}x\,dx}$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,n({I_n} + {I_{n - 2}})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^a f(x) \, dx = $

निश्चित समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)}$ का मान किसके बराबर है?

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