योग left({ }^{n} C_{1}right)^{2}+left({ }^{n} | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार इस प्रकार है: $(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}$ और $(x+1)^

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${ }^{2 n} C_{n}-1$

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(D) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार इस प्रकार है: $(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}$ और $(x+1)^{n} = { }^{n} C_{0} x^{n}+{ }^{n} C_{1} x^{n-1}+{ }^{n} C_{2} x^{n-2}+\ldots+{ }^{n} C_{n}$. इन दो व्यंजकों का गुणा करने पर, हमें $(1+x)^{2n} = (1+x)^{n}(x+1)^{n}$ प्राप्त होता है। $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक ${ }^{2n} C_{n}$ है। दो श्रेणियों का गुणा करने पर, $x^{n}$ का गुणांक संबंधित गुणांकों के गुणनफल का योग है: $({ }^{n} C_{0})^{2} + ({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n}$. दिया गया योग $({ }^{n} C_{1})^{2}$ से शुरू होता है, इसलिए हम पहले पद $({ }^{n} C_{0})^{2} = 1$ को घटा देंगे: $({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n} - ({ }^{n} C_{0})^{2} = { }^{2n} C_{n} - 1$.

योग $\left({ }^{n} C_{1}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{2}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{3}\right)^{2}+\ldots+\left({ }^{n} C_{n}\right)^{2}$ का मान है

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$\sum \limits_{k=0}^{6} {}^{51-k}C_{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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