જેના માટે સદિશો $\bar{a} = 2x^2 \hat{i} + 4x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય તેવી $x$ ની કિંમતો શોધો.

જો $a, b, c$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $P, Q, R$ એ ત્રણ બિંદુઓ હોય જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, $b \hat{i}+c \hat{j}+a \hat{k}$ અને $c \hat{i}+a \hat{j}+b \hat{k}$ હોય, તો $\angle Q P R=$

સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધો.

જો $\overline{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overline{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ બે સદિશો હોય,તો સદિશો $3 \bar{a}+5 \bar{b}$ અને $5 \bar{a}+3 \bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\overrightarrow{b}$ તથા $\overrightarrow{c}$ બે શૂન્યેતર સદિશો છે જેથી $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ થાય. નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(A)$ તમામ $\lambda \in R$ માટે $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
$(B)$ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{c}$ હંમેશા સમાંતર છે.

જો $a, b$ અને $c$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $a+b+c=0$ થાય,તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?