समतलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 की प | vedclass

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Question

(C) समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्

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$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$

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(C) समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (1 + 5\lambda) = 0$.यह समतल $x - y + z = 0$ के लंबवत है। दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के लंबवत होने की शर्त $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है।अतः,$(1 + 2\lambda)(1) + (1 + 3\lambda)(-1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$.$1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.$\lambda = -\frac{1}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 + 4(-\frac{1}{3}))z - (1 + 5(-\frac{1}{3})) = 0$.$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.$3$ से गुणा करने पर,हमें $x - z + 2 = 0$ प्राप्त होता है।सदिश रूप में,यह $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ है।

समतलों $x + y + z = 1$ और $2x + 3y + 4z = 5$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $x - y + z = 0$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

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यदि $L$ दो समतलों $x+2y+2z=15$ और $x-y+z=4$ की प्रतिच्छेदन रेखा है और रेखा $L$ के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं, तो $\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2}=$

रेखा $r = (-\hat{i} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ और समतल $r \cdot (10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}) = 3$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

समतलों $x+y+z=1$ और $3x+4y+5z=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और $XY$-समतल के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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