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Question

(A) मूल बिंदु से $ d $ दूरी पर स्थित और इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} $ वाले समतल का सदिश समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ होता है। दिया गया अभिलंब स

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$ \vec{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})=3 $

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(A) मूल बिंदु से $ d $ दूरी पर स्थित और इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} $ वाले समतल का सदिश समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ होता है। दिया गया अभिलंब सदिश $ \vec{N} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k} $ है। सबसे पहले,$ \vec{N} $ का परिमाण ज्ञात करें: $ |\vec{N}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} $। इकाई अभिलंब सदिश $ \hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} $ है। मूल बिंदु से दूरी $ d = \frac{3}{\sqrt{14}} $ है। इन मानों को समीकरण $ \vec{r} \cdot \hat{n} = d $ में रखने पर: $ \vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{3}{\sqrt{14}} $। दोनों पक्षों को $ \sqrt{14} $ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $ \vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) = 3 $।

उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $ \frac{3}{\sqrt{14}} $ की दूरी पर है और मूल बिंदु से अभिलंब सदिश $ 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k} $ है:

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$A(2 \hat{i}+6 \hat{j}-6 \hat{k})$, $B(-3 \hat{i}+10 \hat{j}-9 \hat{k})$ और $C(-5 \hat{i}-6 \hat{k})$ स्थिति सदिश वाले बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण है

जिन $a$ के मानों के लिए दो बिंदु $(1, a, 1)$ और $(-3, 0, a)$ समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं,वे संतुष्ट करते हैं:

समतलों $x+y+2z=6$ और $2x-y+z=9$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{r}=(2-\lambda+\mu) \hat{i}+(1-\mu) \hat{j}+(2-3 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ एक समतल का सदिश समीकरण है, तो समतल का समतुल्य कार्तीय समीकरण क्या है?

$a$ के किन मानों के लिए दो बिंदु $(1, a, 1)$ और $(-3, 0, a)$ समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं?

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