त्रिभुज ABC के शीर्ष B और C रेखा frac{x}{1}=f | vedclass

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Question

(A) रेखा का समीकरण $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ है।चूंकि $B(4,

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$5\sqrt{13}$

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(A) रेखा का समीकरण $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ है।चूंकि $B(4, 9, \alpha)$ रेखा पर स्थित है, इसलिए $\frac{4}{1} = \frac{9-1}{2} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow 4 = 4 = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha = 14$.माना $AD$, $A(1, 6, 3)$ से रेखा $BC$ पर डाला गया लंब है। $D$, रेखा पर $A$ का प्रक्षेप है, इसलिए $D(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$.सदिश $\vec{AD} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda+1-6)\hat{j} + (3\lambda+2-3)\hat{k} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda-5)\hat{j} + (3\lambda-1)\hat{k}$.चूंकि $\vec{AD}$ रेखा की दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के लंबवत है, इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:$(\lambda-1)(1) + (2\lambda-5)(2) + (3\lambda-1)(3) = 0$$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$.अतः, $D = (1, 2(1)+1, 3(1)+2) = (1, 3, 5)$.लंब $AD$ की लंबाई $= \sqrt{(1-1)^2 + (3-6)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes BC 	imes AD = \frac{1}{2} 	imes 10 	imes \sqrt{13} = 5\sqrt{13}$ वर्ग इकाई।

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यदि $A(3,4,5)$, $B(4,6,3)$, $C(-1,2,4)$ और $D(1,0,5)$ बिंदु इस प्रकार हैं कि रेखाओं $DC$ और $AB$ के बीच का कोण $\theta$ है, तो $\cos \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\overline{r}=(2 \hat{i}-\hat{j})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k})$ और $\overline{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्कोज्याएँ समीकरणों $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करती हैं।

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