r_1 और r_2 त्रिज्या वाले प्रथम चतुर्थांश में | vedclass

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Question

(D) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में हैं और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $(r, r)$ हैं और उनके समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2

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$7$

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(D) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में हैं और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $(r, r)$ हैं और उनके समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ हैं।इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ प्राप्त होता है।रेखा $x+y-2=0$ द्वारा काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ केंद्र $(r, r)$ से रेखा $x+y-2=0$ तक की लंबवत दूरी है।अतः,$\sqrt{r^2 - d^2} = 1$,जिसका अर्थ है $r^2 - d^2 = 1$.दूरी $d = \frac{|r+r-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2r-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}|r-1|$ है।$d^2 = 2(r-1)^2$ को समीकरण $r^2 - d^2 = 1$ में रखने पर,हमें $r^2 - 2(r-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।$r^2 - 2(r^2 - 2r + 1) = 1$ $\Rightarrow r^2 - 2r^2 + 4r - 2 = 1$ $\Rightarrow -r^2 + 4r - 3 = 0$.अतः,$r^2 - 4r + 3 = 0$। इस द्विघात समीकरण के मूल $r_1$ और $r_2$ हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार,$r_1 + r_2 = 4$ और $r_1 r_2 = 3$ है।हमें $r_1^2 + r_2^2 - r_1 r_2 = (r_1 + r_2)^2 - 3r_1 r_2$ ज्ञात करना है।मान रखने पर,हमें $4^2 - 3(3) = 16 - 9 = 7$ प्राप्त होता है।

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