वृत्तों $x^{2}+y^{2}=4$ और $x^{2}+y^{2}-6x-8y-24=0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अभिलंब $x^2 + 2xy + 3x + 6y = 0$ रेखाएं हैं और जिसका आकार वृत्त $x(x - 4) + y(y - 3) = 0$ को समाहित करने के लिए पर्याप्त है।

दो वृत्तों $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ और $x^2 + y^2 = 4$ के प्रतिच्छेदन कोण को $^\circ$ में ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ एक ऐसे वृत्त को दर्शाता है जिसका व्यास $x$-अक्ष है और त्रिज्या $a$ है,तो

मान लीजिए $G$ त्रिज्या $R>0$ वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $G_1, G_2, \ldots, G_n$ समान त्रिज्या $r>0$ वाले $n$ वृत्त हैं। मान लीजिए कि $n$ वृत्तों $G_1, G_2, \ldots, G_n$ में से प्रत्येक वृत्त $G$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। साथ ही,$i=1,2, \ldots, n-1$ के लिए,वृत्त $G_i$ वृत्त $G_{i+1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,और $G_n$ वृत्त $G_1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $n=4$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ यदि $n=5$ है,तो $r < R$
$(C)$ यदि $n=8$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ यदि $n=12$ है,तो $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$

वृत्त $x^2+y^2-4x+4y+3=0$ द्वारा रेखा $x=3y+13$ पर अंतःखंडित जीवा की लंबाई कितने इकाई है?