दो घटनाएँ $A$ और $B$ इस प्रकार हैं कि $P(A)=\frac{1}{4}$, $P(A|B)=\frac{1}{4}$ और $P(B|A)=\frac{1}{2}$। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(I) P(\bar{A}|\bar{B})=\frac{3}{4}$
$(II) A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं
$(III) P(A|B)+P(A|\bar{B})=1$
तो,

एक उम्मीदवार क्रमिक रूप से तीन परीक्षाएं देता है और पहली परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $p$ है। यदि वह पिछली परीक्षा उत्तीर्ण करता है तो अगली परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $p$ है, और यदि वह पिछली परीक्षा में अनुत्तीर्ण होता है तो यह $\frac{p}{2}$ है। उम्मीदवार का चयन तब होता है यदि वह कम से कम दो परीक्षाएं उत्तीर्ण करता है। उम्मीदवार के चयन की प्रायिकता है:

$00, 01, 02, \dots, 98, 99$ अंकित $100$ टिकटों में से एक टिकट यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि $X$ और $Y$ टिकटों पर अंकों का योग और गुणनफल दर्शाते हैं,तो $P(X = 9 | Y = 0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $E_{1}$ दो पासे फेंकने पर योग $6$ आने की घटना को दर्शाता है और $E_{2}$ दोनों पासों में से किसी एक पर $2$ आने की घटना है,तो $P(E_{2} / E_{1})$ क्या है ($/ 5$ में)?

यदि $A$ और $B$ किसी यादृच्छिक प्रयोग की दो घटनाएँ हैं और $P(B) \neq 1$ है,तो $P(A | B^c) =$ ?

यदि $4\,P(A) = 6\,P(B) = 10\,P(A \cap B) = 1$ है,तो $P\left( \frac{B}{A} \right) = \dots$