ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$\sin \theta + \sin 2\theta + \ldots + \sin n\theta = \frac{\sin \frac{n\theta}{2} \sin \frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$

(N/A) $P(n): \sin \theta + \sin 2\theta + \ldots + \sin n\theta = \frac{\sin \frac{n\theta}{2} \sin \frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}, n \in N$
$n=1$ માટે,$L.H.S. = \sin \theta$.
$R.H.S. = \frac{\sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{2\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = \sin \theta$.
$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે:
$\sin \theta + \sin 2\theta + \ldots + \sin k\theta = \frac{\sin \frac{k\theta}{2} \sin \frac{(k+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$.
$n=k+1$ માટે,$L.H.S. = (\sin \theta + \ldots + \sin k\theta) + \sin(k+1)\theta$
$= \frac{\sin \frac{k\theta}{2} \sin \frac{(k+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} + \sin(k+1)\theta$
$= \frac{\sin \frac{k\theta}{2} \sin \frac{(k+1)\theta}{2} + \sin(k+1)\theta \sin \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$
$2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\cos \frac{\theta}{2} - \cos \frac{(2k+3)\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2}}$
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin \frac{(k+1)\theta}{2} \sin \frac{(k+2)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = R.H.S.$
આમ,$P(k+1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.