દરેક $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સંખ્યાઓ $a_n$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$.
તો,$a_n$ ની કિંમત શું થાય?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$

ધારો કે $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

$n$ ના તમામ ધન પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે,${3^{2n}} - 2n + 1$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?