तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों (cofactors) | vedclass

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Question

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & yz \ 1 & y & zx \ 1 & z & xy \end{array} ight|$ है।तीसरे स्तंभ के अवयव $a_{13} = y

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$(x-y)(y-z)(z-x)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & yz \ 1 & y & zx \ 1 & z & xy \end{array} ight|$ है।तीसरे स्तंभ के अवयव $a_{13} = yz$,$a_{23} = zx$,और $a_{33} = xy$ हैं।उपसारणिक (Minors) इस प्रकार हैं:$M_{13} = \left| \begin{array}{cc} 1 & y \ 1 & z \end{array} ight| = z-y$$M_{23} = \left| \begin{array}{cc} 1 & x \ 1 & z \end{array} ight| = z-x$$M_{33} = \left| \begin{array}{cc} 1 & x \ 1 & y \end{array} ight| = y-x$सहखंड (Cofactors) इस प्रकार हैं:$A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = z-y$$A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -(z-x) = x-z$$A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = y-x$तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = a_{13} A_{13} + a_{23} A_{23} + a_{33} A_{33}$$= yz(z-y) + zx(x-z) + xy(y-x)$$= yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x + xy^2 - x^2y$इन पदों को व्यवस्थित करने पर:$= (x-y)(y-z)(z-x)$अतः,$\Delta = (x-y)(y-z)(z-x)$।

तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों (cofactors) का उपयोग करके,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निम्नलिखित सारणिक के अवयवों के उपसारणिक (Minors) और सहखंड (Cofactors) लिखिए: $\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$

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