સદિશોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$.

(N/A) ધારો કે $\widehat{OP}$ અને $\widehat{OQ}$ એ એકમ સદિશો છે જે $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે અનુક્રમે $A$ અને $B$ ખૂણા બનાવે છે. તેથી $\angle QOP = A-B$ (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\widehat{OP} = \cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}$ અને $\widehat{OQ} = \cos B \hat{i} + \sin B \hat{j}$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = |\widehat{OP}| |\widehat{OQ}| \cos(A-B)$.
કારણ કે $\widehat{OP}$ અને $\widehat{OQ}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\widehat{OP}| = 1$ અને $|\widehat{OQ}| = 1$.
તેથી,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos(A-B) \quad \dots(1)$.
ઘટકોના સ્વરૂપમાં,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = (\cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}) \cdot (\cos B \hat{i} + \sin B \hat{j})$.
ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos A \cos B + \sin A \sin B \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.