સદિશોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ અને $ABFE$ એ એક જ પાયા $AB$ પર અને બે સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DF$ ની વચ્ચે આવેલા બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ તેની પાસપાસેની બાજુઓના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે:
$\text{Area}(ABCD) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABFE$ માટે,પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AE}$ છે.
જેમ કે $D, E, C, F$ એ $AB$ ને સમાંતર એક જ રેખા પર આવેલા છે,આપણે લખી શકીએ કે $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$.
કારણ કે $\overrightarrow{DE}$ એ $\overrightarrow{AB}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\overrightarrow{DE} = k\vec{a}$ જ્યાં $k$ એક અદિશ છે.
આમ,$\overrightarrow{AE} = \vec{b} + k\vec{a}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABFE$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area}(ABFE) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE}|$
$= |\vec{a} \times (\vec{b} + k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + k(\vec{a} \times \vec{a})|$.
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી $(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0})$:
$\text{Area}(ABFE) = |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{0}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
તેથી,$\text{Area}(ABFE) = \text{Area}(ABCD)$.
આમ,સાબિત થાય છે કે એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.