પાણી $16 \ m$ ઊંડાઈ ધરાવતી લંબચોરસ ટાંકીના તળિયેથી વહે છે. પાણીના વહેવાનો દર કોઈપણ સમયે $t$ પર ઊંડાઈના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે. જો $t = 2 \ \text{કલાક}$ હોય ત્યારે ઊંડાઈ $4 \ m$ હોય,તો $3.5 \ \text{કલાક}$ પછી ઊંડાઈ (મીટરમાં) કેટલી હશે?

એક ગોળાકાર વરસાદનું ટીપું તેની સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં બાષ્પીભવન પામે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા $3 \ mm$ હોય અને $1 \ second$ પછી તે ઘટીને $2 \ mm$ થાય,તો કોઈપણ સમયે $t$ પર તેની ત્રિજ્યા કેટલી હશે (જ્યાં $0 \leq t < 3$)?

ધારો કે $\Gamma$ એ $y = y(x)$ વક્ર દર્શાવે છે જે પ્રથમ ચરણમાં છે અને બિંદુ $(1,0)$ તેના પર આવેલું છે. ધારો કે $P$ બિંદુએ $\Gamma$ નો સ્પર્શક $y$-અક્ષને $Y_p$ માં છેદે છે. જો $\Gamma$ પરના દરેક બિંદુ $P$ માટે $PY_p$ ની લંબાઈ $1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{a + bx}{c + dy}$ નો ઉકેલ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળોની શ્રેણી દર્શાવે છે જો...

વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ ના કુળના લંબ છેદકો (orthogonal trajectories) શોધો,જ્યાં $a$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.

જો એક પદાર્થને $110^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે અને $10^{\circ} C$ તાપમાનવાળી હવામાં મૂકવામાં આવે,અને $1 \text{ કલાક}$ પછી તેનું તાપમાન $60^{\circ} C$ થાય,તો તેને $30^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે જરૂરી વધારાનો સમય કેટલો છે?