निम्नलिखित में से कौन सा आव्यूह व्युत्क्रमणीय (invertible) है?
$A_{1}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A_{2}=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$
$A_{3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A_{4}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

आव्यूह $\begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कीजिए।

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 3/11 \\ 1/11 & b \end{bmatrix}$ है, तो $a+b=$ . . . . . . .

मान लीजिए कि $k$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है और $A = \begin{bmatrix} 2k-1 & 2\sqrt{k} & 2\sqrt{k} \\ 2\sqrt{k} & 1 & -2k \\ -2\sqrt{k} & 2k & -1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 2k-1 & \sqrt{k} \\ 1-2k & 0 & 2\sqrt{k} \\ -\sqrt{k} & -2\sqrt{k} & 0 \end{bmatrix}$ है। यदि $\det(\operatorname{adj} A) + \det(\operatorname{adj} B) = 10^6$ है,तो $[k]$ का मान ज्ञात कीजिए [नोट: $\operatorname{adj} M$ एक वर्ग आव्यूह $M$ का सहखंडज (adjoint) दर्शाता है और $[k]$,$k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है]।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है। सत्यापित कीजिए कि $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A) A = |A| I$ है।

यदि $A$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है और $|A| = 8$ है,तो $|adj(A)| = $