निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?

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Question

(A) यदि $f$,$R$ से $R$ तक एक सम फलन है,तो $f(0)$ का मान $0$ होना चाहिए। हम जानते हैं कि यदि फलन $f(x)$ सम है,तो $f(-x)=f(x)$ होता है। यदि हम $f(x)=\co

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यदि $f$,$R$ से $R$ तक एक सम फलन है,तो $f(0)$ का मान $0$ होना चाहिए।

Vedclass · Answer

(A) यदि $f$,$R$ से $R$ तक एक सम फलन है,तो $f(0)$ का मान $0$ होना चाहिए। हम जानते हैं कि यदि फलन $f(x)$ सम है,तो $f(-x)=f(x)$ होता है। यदि हम $f(x)=\cos x$ मान लें,तो $f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$। अतः,$f(x)=\cos x$ एक सम फलन है। हालाँकि,$f(0)=\cos 0=1 
eq 0$। इसलिए,दिया गया कथन असत्य है। $(b)$ $f: R ightarrow R$,$f(x)=x-[x]$। हम जानते हैं कि $x=[x]+\{x\}$,जहाँ $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है,इसलिए $f(x)=\{x\}$। चूँकि $\{x\}$ एक आवर्ती फलन है,इसलिए $f(x)$ भी एक आवर्ती फलन है। इसलिए,दिया गया कथन सत्य है। $(c)$ यदि $f: R ightarrow R$ एक विषम फलन है,तो $f(0)=0$ होता है। विषम फलन के लिए $f(-x)=-f(x)$ होता है। $x=0$ रखने पर,$f(0)=-f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(0)=0$,यानी $f(0)=0$। इसलिए,दिया गया कथन सत्य है। $(d)$ समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6\}$ से $\{1,2\}$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $62$ है। माना $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ और $B=\{1,2\}$,तो $n(A)=6$ और $n(B)=2$। $m$ अवयवों वाले समुच्चय से $n$ अवयवों वाले समुच्चय तक आच्छादक फलनों की संख्या $n^m - \binom{n}{1}(n-1)^m + \binom{n}{2}(n-2)^m - \dots$ सूत्र द्वारा दी जाती है। $n=2$ और $m=6$ के लिए,आच्छादक फलनों की संख्या $2^6 - \binom{2}{1}(1)^6 = 64 - 2 = 62$ है। इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

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