નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય નથી?

ધારો કે $*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીકક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = (a - b)^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્રીકક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ ધ્યાનમાં લો જે $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P(X)$ એ $X$ નો ઘાતગણ છે. સાબિત કરો કે $X$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $X$ એ આ ક્રિયાના સંદર્ભમાં $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.

સાબિત કરો કે $(a, b) \rightarrow a+4 b^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ $*: R \times R \rightarrow R$ એ દ્વિ ક્રિયા (binary operation) છે.

ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિ-ક્રિયા $*$ માટે નીચે મુજબનું ગુણાકાર કોષ્ટક આપેલ છે. $(2 \,^* \,3) \,^* \,4$ અને $2 \,^* \,(3 \,^* \,4)$ ની ગણતરી કરો.
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ છે)

સાબિત કરો કે $R$ પર સરવાળા માટે $0$ તટસ્થ ઘટક છે અને $R$ પર ગુણાકાર માટે $1$ તટસ્થ ઘટક છે. પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div : R_* \times R_* \rightarrow R_*$ ક્રિયાઓ માટે કોઈ તટસ્થ ઘટક નથી.