શું કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે,જ્યાં $m$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

(N/A) ના,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b$ ને $b = 3q + r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \leq r < 3$. આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $3k, 3k + 1$ અથવા $3k + 2$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
કિસ્સો $1$: જો $b = 3k$ હોય,તો $b^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3k^2$.
કિસ્સો $2$: જો $b = 3k + 1$ હોય,તો $b^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3k^2 + 2k$.
કિસ્સો $3$: જો $b = 3k + 2$ હોય,તો $b^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3k^2 + 4k + 1$.
બધા કિસ્સાઓમાં,ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કાં તો $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે. તેથી,તે $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.