$A$ એ $52$ પત્તાના પેકમાંથી બદલી સાથે (with replacement) બે પત્તા ખેંચે છે અને $B$ પાસાની એક જોડી ફેંકે છે. $A$ ને બંને પત્તા એક જ રંગના (suit) મળે અને $B$ ને કુલ $6$ મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $A$ અને $B$ બે એવી ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A \cup B) \geq \frac{3}{4}$ અને $\frac{1}{8} \leq P(A \cap B) \leq \frac{3}{8}$ હોય, તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(A)$: જો $P_1, P_2, P_3$ એ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ બનવાની સંભાવનાઓ હોય, તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $1 - [(1 - P_1)(1 - P_2)(1 - P_3)]$ છે.
કારણ $(R)$: કોઈપણ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે, $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)$.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

Box-$I$ માં $1, 2, 3$ અંક ધરાવતા $3$ કાર્ડ છે; Box-$II$ માં $1, 2, 3, 4, 5$ અંક ધરાવતા $5$ કાર્ડ છે અને Box-$III$ માં $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંક ધરાવતા $7$ કાર્ડ છે. દરેક બોક્સમાંથી એક કાર્ડ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો $x_i$ એ $i^{\text{th}}$ બોક્સમાંથી પસંદ કરેલા કાર્ડ પરનો અંક હોય,$i=1, 2, 3$,તો $x_1+x_2+x_3$ એકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?

$A$ અને $B$ વારાફરતી પાસો ફેંકે છે જ્યાં સુધી તેમનામાંથી કોઈ એક '$6$' મેળવે અને રમત જીતે. જો $A$ પ્રથમ શરૂઆત કરે,તો તેમની જીતવાની સંભાવના શોધો.

જો $A$ અને $B$ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ અને $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{3}$ હોય,તો $P(A)$ ની કિંમત શોધો. (અહીં,$\bar{E}$ એ ઘટના $E$ ની પૂરક ઘટના છે)