Equations of circle Questions in Hindi

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि केंद्र $y - 4x + 3 = 0$ पर स्थित है, इसलिए $k - 4h + 3 = 0$, या $k = 4h - 3$ है।
केंद्र $(h, k)$ से $(2, 3)$ और $(4, 5)$ की दूरी समान (त्रिज्या $r$) है:
$(h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$।
$k = 4h - 3$ को $h + k = 7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$।
तब $k = 4(2) - 3 = 5$। केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0 + 4 = 4$।
समीकरण $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 4 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4 \implies x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि केंद्र $4x - y - 3 = 0$ पर स्थित है, इसलिए $4h - k - 3 = 0$, या $k = 4h - 3$ है।
चूँकि वृत्त $(2, 3)$ और $(4, 5)$ से होकर गुजरता है, केंद्र से इन बिंदुओं की दूरियाँ समान (त्रिज्या $r$) होंगी:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$।
$h + k = 7$ में $k = 4h - 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$।
तब $k = 4(2) - 3 = 5$ है।
केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0 + 4 = 4$ है।
समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ है।

(A) चरण $1$: दो समांतर रेखाओं $3x - 4y + 8 = 0$ और $3x - 4y - 28 = 0$ के बीच की दूरी वृत्त का व्यास है। दूरी $d = \frac{|8 - (-28)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{36}{5} = 7.2$ है। अतः त्रिज्या $r = 3.6$ है।
चरण $2$: केंद्र $(h, k)$, $x + 2y = 0$ पर स्थित है, इसलिए $h = -2k$। केंद्र दोनों रेखाओं से समान दूरी पर है। मध्य रेखा $3x - 4y - 10 = 0$ है।
चरण $3$: $h = -2k$ को $3h - 4k - 10 = 0$ में रखने पर, $3(-2k) - 4k - 10 = 0 \implies k = -1$ और $h = 2$। केंद्र $(2, -1)$ है।
चरण $4$: वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = r^2$ है। $r^2 = 12.96$।

(C) समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ के एक वृत्त को निरूपित करने के लिए, $xy$ का गुणांक $0$ होना चाहिए और $x^2$ तथा $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए।
चरण $1$: $xy$ के गुणांक को $0$ के बराबर रखें: $3 - p = 0 \implies p = 3$।
चरण $2$: $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों को समान रखें: $3 = q$।
चरण $3$: समीकरण में $p=3$ और $q=3$ प्रतिस्थापित करें: $3x^2 + 3y^2 - 2(3)x = 8(3)(3) \implies 3x^2 + 3y^2 - 6x = 72$।
चरण $4$: $3$ से भाग दें: $x^2 + y^2 - 2x = 24$।
चरण $5$: वर्ग पूर्ण करें: $(x^2 - 2x + 1) + y^2 = 24 + 1 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 25$।
चरण $6$: त्रिज्या $r = \sqrt{25} = 5$ है। क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(5)^2 = 25\pi$ वर्ग इकाई है।

(C) समीकरण के वृत्त निरूपित करने के लिए, $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए। अतः, $a + 1 = 3$, जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $a = 2$ रखने पर: $3x^2 + 3y^2 - 6x + 9y + 6 = 0$।
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0$।
सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर, हमें $2g = -2 \implies g = -1$ और $2f = 3 \implies f = 3/2$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f) = (1, -3/2)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (3/2)^2 - 2} = \sqrt{1 + 9/4 - 2} = \sqrt{9/4 - 1} = \sqrt{5/4} = \sqrt{5}/2$ है।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sqrt{3} \cos \theta$ और $y = \sqrt{3} \sin \theta$ हैं।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $x^2 + y^2 = (\sqrt{3} \cos \theta)^2 + (\sqrt{3} \sin \theta)^2$।
$x^2 + y^2 = 3 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta = 3(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 3$।
यह $r = \sqrt{3}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \text{ वर्ग इकाई}$।