Surface Energy Questions in Hindi

(A) माना मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और $1000$ छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है: $1000 \times (4/3 \pi r^3) = 4/3 \pi R^3$.
यह $1000r^3 = R^3$ में सरल हो जाता है, जिससे $R = 10r$ या $r = R/10$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $u_i = T \times 4\pi R^2$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम कुल पृष्ठीय ऊर्जा $u_f = 1000 \times (T \times 4\pi r^2)$ है।
$r = R/10$ प्रतिस्थापित करने पर: $u_f = 1000 \times T \times 4\pi (R/10)^2 = 1000 \times T \times 4\pi (R^2/100) = 10 \times (T \times 4\pi R^2) = 10 u_i$.
अतः, $u_f/u_i = 10$.
दिया गया है कि $u_f/u_i = 10/x$, इसलिए $10 = 10/x$, जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार, $1000$ छोटी बूंदों का कुल आयतन $1$ बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होता है:
$1000 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$
$1000 r^3 = R^3 \implies R = 10r$.
बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $U = T \cdot A$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$1$ बड़ी बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा: $U_{large} = T \cdot 4\pi R^2 = T \cdot 4\pi (10r)^2 = 100 T \cdot 4\pi r^2$.
$1000$ छोटी बूंदों की कुल पृष्ठीय ऊर्जा: $U_{small_total} = 1000 \cdot (T \cdot 4\pi r^2) = 1000 T \cdot 4\pi r^2$.
$1$ बड़ी बूंद और $1000$ छोटी बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{U_{large}}{U_{small_total}} = \frac{100 T \cdot 4\pi r^2}{1000 T \cdot 4\pi r^2} = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10}$.
अतः, अनुपात $1 : 10$ है।

(A) बड़ी बूंद का आयतन '$n$' छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है।
$V_{large} = n \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies n = \frac{R^3}{r^3}$
आवश्यक ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि और पृष्ठ तनाव '$T$' के गुणनफल के बराबर होती है।
$E = T \times (\text{अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल} - \text{प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल})$
$E = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$n = \frac{R^3}{r^3}$ का मान रखने पर:
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r^3} \times r^2 - R^2)$
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r} - R^2)$
$E = 4\pi T R^2 (\frac{R}{r} - 1)$

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W_1 = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल $2 \times (4\pi r^2)$ होता है।
$W_1 = T \times 8\pi r^2 = 450 \text{ erg}$.
जब त्रिज्या को बढ़ाकर $3r$ कर दिया जाता है, तो नया कार्य $W_2 = T \times 8\pi (3r)^2 = T \times 8\pi (9r^2) = 9 \times (T \times 8\pi r^2)$ होता है।
$W_1$ का मान रखने पर, हमें $W_2 = 9 \times 450 = 4050 \text{ erg}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक अतिरिक्त कार्य $W_{\text{add}} = W_2 - W_1 = 4050 - 450 = 3600 \text{ erg}$ है।

(A) $r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ होता है।
अतः, $W = T \times 8\pi r^2$।
$R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए, $W_1 = 8\pi R^2 T_1$।
$2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए, $W_2 = 8\pi (2R)^2 T_2 = 32\pi R^2 T_2$।
जब घोल को गर्म किया जाता है, तो पृष्ठ तनाव $T$ कम हो जाता है, इसलिए $T_2 < T_1$।
अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \frac{32\pi R^2 T_2}{8\pi R^2 T_1} = 4 \times \frac{T_2}{T_1}$ है।
चूंकि $T_2 < T_1$, इसलिए अनुपात $\frac{T_2}{T_1} < 1$ है, जिसका अर्थ है कि $\frac{W_2}{W_1} < 4$।
इसलिए, आवश्यक कार्य पहले बुलबुले के लिए आवश्यक कार्य के $4$ गुना से थोड़ा कम होगा।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है, $1000$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $(E_i)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T)$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $(E_f)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा और प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$.

(C) साबुन के बुलबुले को विस्तारित करने में किया गया कार्य $(W)$ का सूत्र है: $W = T \times \Delta A$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, इसलिए प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 8\pi \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8 \text{ cm}^2$.
अंतिम त्रिज्या $r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, इसलिए अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 8\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8\pi \times \frac{9}{\pi} = 72 \text{ cm}^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 72 - 8 = 64 \text{ cm}^2$.
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = 25 \times 64 = 1600 \text{ erg}$.