Beats and Tuning fork Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ત્રીજા સ્વરની આવૃત્તિ $n$ છે અને ધ્વનિનો વેગ $v$ છે.
બે સ્વરોની આવૃત્તિઓ $n_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{36/195} = \frac{195v}{36}$ અને $n_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{36/193} = \frac{193v}{36}$ છે.
દરેક સ્વર ત્રીજા સ્વર સાથે પ્રતિ સેકન્ડ $10$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરતું હોવાથી, આપણને મળે છે:
$\frac{195v}{36} - n = 10$ ---$(i)$
$n - \frac{193v}{36} = 10$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$\frac{195v}{36} - \frac{193v}{36} = 10 + 10$
$\frac{2v}{36} = 20$
$\frac{v}{18} = 20$
$v = 360 \,m/s$.

(D) એક છેડે બંધ નળી માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $f_{c1} - f_{c2} = 2$ છે, જ્યાં $f_{c1} = \frac{v}{4L_1}$ અને $f_{c2} = \frac{v}{4L_2}$ છે.
તેથી, $\frac{v}{4L_1} - \frac{v}{4L_2} = 2$.
બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી બીટ આવૃત્તિ $f_{o1} - f_{o2} = \frac{v}{2L_1} - \frac{v}{2L_2}$ છે.
આને આપણે $2 \times (\frac{v}{4L_1} - \frac{v}{4L_2})$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
જાણીતી કિંમત મૂકતા, નવી બીટ આવૃત્તિ $2 \times 2 = 4$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $\lambda_1 = 5 \,m$, $\lambda_2 = 6 \,m$.
તરંગની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ: $n_1 = \frac{v}{5}$.
બીજા તરંગની આવૃત્તિ: $n_2 = \frac{v}{6}$.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_1 - n_2 = \frac{\text{બીટ્સની સંખ્યા}}{\text{સમય}} = \frac{30}{3} = 10 \,Hz$.
$n_1$ અને $n_2$ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{5} - \frac{v}{6} = 10$.
$v$ ને સામાન્ય લેતા: $v \left( \frac{6 - 5}{30} \right) = 10$.
$\frac{v}{30} = 10$.
તેથી, $v = 300 \,m/s$.

(B) દોરી $A$ ની આવૃત્તિ $f_A = 320 \ Hz$ છે. ધારો કે દોરી $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે. સ્પંદની આવૃત્તિ $n = |f_A - f_B| = 8 \ Hz$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f_B = 320 \pm 8$, તેથી $f_B$ એ $312 \ Hz$ અથવા $328 \ Hz$ હોઈ શકે છે.
જ્યારે દોરી $A$ માં તણાવ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે કારણ કે $f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_A'$ છે. $f_A' < 320 \ Hz$ હોવાથી, નવી સ્પંદ આવૃત્તિ $n' = |f_A' - f_B| = 4 \ Hz$ થાય છે.
જો $f_B = 312 \ Hz$ હોય, તો $f_A' - 312 = 4 \implies f_A' = 316 \ Hz$ (જે $320 \ Hz$ કરતા ઓછી છે, જે સુસંગત છે).
જો $f_B = 328 \ Hz$ હોય, તો $328 - f_A' = 4 \implies f_A' = 324 \ Hz$ (જે $320 \ Hz$ કરતા વધારે છે, જે અસંગત છે).
તેથી, $B$ ની આવૃત્તિ $312 \ Hz$ હોવી જોઈએ.

(D) આપેલ છે કે, પ્રથમ તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 500 \,Hz$ છે।
ધારો કે બીજા તારની આવૃત્તિ $f_2$ છે।
બીટ આવૃત્તિ $f_b = 5 \,Hz$ છે।
જ્યારે પ્રથમ તારમાં તણાવ ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે। તે બીજા તાર સાથે દર સેકન્ડે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી બીજા તારની આવૃત્તિ $f_2 = 505 \,Hz$ લેતા।
સંબંધ $f \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$f_2 = 505 \,Hz$ અને $f_1 = 500 \,Hz$ લેતા, $\frac{T_2}{T_1} = (\frac{505}{500})^2 = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$ મળે છે।

(B) ધારો કે બંને વાયરની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n = 600 \text{ Hz}$ છે.
ખેંચાયેલા વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક વાયરનો તણાવ વધારીને $T'$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેની નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $6 \text{ Hz}$ છે, તેથી $n' - n = 6$.
તેથી, $n' = 600 + 6 = 606 \text{ Hz}$.
બંને આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n'}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$\frac{606}{600} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$1.01 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T'}{T} = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$.
તણાવમાં આંશિક વધારો $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{T'}{T} - 1$ છે.
$\frac{\Delta T}{T} = 1.02 - 1 = 0.02$.

(D) જે ઘટનામાં અવાજની તીવ્રતા સમય સાથે આવર્તનીય રીતે બદલાય છે તેને $beats$ (બીટ્સ) કહેવામાં આવે છે.
$Beats$ ત્યારે થાય છે જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો, $f_1$ અને $f_2$, એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ (interference) કરે છે.
પરિણામી તીવ્રતા બંને આવૃત્તિઓના તફાવત, $|f_1 - f_2|$, જેટલી આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે.
વધુમાં, જો સ્ત્રોતની તીવ્રતા પોતે જ આવર્તનીય રીતે બદલાતી હોય, તો અવલોકનકાર તીવ્રતામાં આવર્તનીય ફેરફાર અનુભવશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, વિકલ્પ $D$ એ $beats$ માટેની ભૌતિક સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે, જે આવર્તનીય તીવ્રતાના ફેરફારનું પ્રમાણભૂત કારણ છે.

(A) બીટ આવૃત્તિ એટલે પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા. શરૂઆતમાં, $2$ સેકન્ડમાં $8$ બીટ્સ એટલે કે બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = 8/2 = 4$ Hz છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|f_A - f_B| = 4$ Hz.
અહીં $f_B = 380$ Hz આપેલ છે, તેથી $|f_A - 380| = 4$, જેનો અર્થ છે કે $f_A = 384$ Hz અથવા $f_A = 376$ Hz.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે.
મીણ લગાવ્યા પછી, નવી બીટ આવૃત્તિ $2$ સેકન્ડમાં $4$ બીટ્સ છે, એટલે કે $f'_{beat} = 4/2 = 2$ Hz.
જો $f_A = 376$ Hz હોત, તો મીણ લગાવવાથી તે $380$ Hz થી વધુ દૂર જત, જેથી બીટ આવૃત્તિ વધત.
જો $f_A = 384$ Hz હોત, તો મીણ લગાવવાથી તે $380$ Hz ની નજીક આવત, જેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $2$ Hz થાત.
તેથી, ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની મૂળ આવૃત્તિ $384$ Hz હોવી જોઈએ.

(B) બીટ આવૃત્તિ $|n - f_s| = x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_s$ એ સોનોમીટર તારની આવૃત્તિ છે. આનો અર્થ એ છે કે $f_s = n + x$ અથવા $f_s = n - x$.
જ્યારે તારનું તણાવ $T$ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે તારની આવૃત્તિ $f_s$ વધે છે કારણ કે $f_s \propto \sqrt{T}$.
જો $f_s = n + x$ હોય, તો $f_s$ વધારવાથી તે $n$ થી વધુ દૂર જશે, આમ બીટ આવૃત્તિ $(f_s - n)$ વધશે.
જો $f_s = n - x$ હોય, તો $f_s$ વધારવાથી તે $n$ ની નજીક આવશે, આમ બીટ આવૃત્તિ $(n - f_s)$ ઘટશે.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ બીટ આવૃત્તિ ઘટે છે, તેથી તારની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n - x$ હોવી જોઈએ.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$Y_1 = 0.25 \sin 316t$ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ છે.
$Y_2 = 0.25 \sin 310t$ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ અને રેખીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે, તેથી $f = \omega / (2\pi)$.
તેથી, $f_1 = 316 / (2\pi)$ અને $f_2 = 310 / (2\pi)$.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = |(316 / 2\pi) - (310 / 2\pi)| = 6 / (2\pi) = 3 / \pi$.
આમ, પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $3/\pi$ છે.

(C) બીટ્સ એ ધ્વનિશાસ્ત્રની એક ઘટના છે જે સમાન દિશામાં ગતિ કરતા સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગોના સુપરપોઝિશનને કારણે થાય છે.
જ્યારે આ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે, ત્યારે તે કોઈ બિંદુએ ધ્વનિની તીવ્રતામાં સામયિક ફેરફાર કરે છે, જે અવાજમાં વધઘટ તરીકે સંભળાય છે.
બીટ્સની ઘટના સ્પષ્ટપણે સાંભળી શકાય તે માટે, બે તરંગોની આવૃત્તિઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક હોવી જોઈએ (એટલે કે, બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2|$ નાની હોવી જોઈએ, સામાન્ય રીતે $\le 10 \text{ Hz}$).
જોકે કંપનવિસ્તાર સમાન હોવો જરૂરી નથી, પરંતુ જ્યારે કંપનવિસ્તાર સમાન અથવા લગભગ સમાન હોય ત્યારે આ અસર સૌથી વધુ સ્પષ્ટ જણાય છે.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(708 \pi t)$ અને $y_2 = 3 \sin(700 \pi t)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(2 \pi f t)$ સાથે સરખાવતા:
$y_1$ માટે: $2 \pi f_1 = 708 \pi \implies f_1 = 354 \text{ Hz}$ અને કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$.
$y_2$ માટે: $2 \pi f_2 = 700 \pi \implies f_2 = 350 \text{ Hz}$ અને કંપવિસ્તાર $A_2 = 3$.
બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2| = |354 - 350| = 4 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto A^2)$.
મહત્તમ તીવ્રતા (waxing) $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2 = (4 + 3)^2 = 7^2 = 49$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા (wanning) $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2 = (4 - 3)^2 = 1^2 = 1$.
તેથી, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_{max} : I_{min} = 49:1$ થાય.
આમ, પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $4$ છે અને તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $49:1$ છે.

(C) ધારો કે $14$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે: $f_1, f_2, f_3, ..., f_{14}$.
આપેલ છે કે દરેક ફોર્ક તેના અગાઉના ફોર્ક સાથે પ્રતિ સેકન્ડ '$x$' બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી સામાન્ય તફાવત $d = x$ છે.
આમ, $f_n = f_1 + (n-1)x$.
છેલ્લો ફોર્ક એ પ્રથમ ફોર્કનો ઓક્ટેવ છે, એટલે કે $f_{14} = 2f_1$.
$n=14$ મૂકતા: $f_1 + 13x = 2f_1$, જેનો અર્થ છે કે $f_1 = 13x$.
સાતમા ફોર્કની આવૃત્તિ $f_7 = f_1 + 6x = 114 \text{ Hz}$ છે.
$f_1 = 13x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $13x + 6x = 114$.
$19x = 114$.
$x = 114 / 19 = 6$.
તેથી,'$x$' નું મૂલ્ય $6$ છે.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી પાઈપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ અવાજનો વેગ છે અને $l$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
$L$ લંબાઈની પ્રથમ પાઈપ માટે, આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ છે.
$(L + L_1)$ લંબાઈની બીજી પાઈપ માટે, આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{2(L + L_1)}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \left| \frac{v}{2L} - \frac{v}{2(L + L_1)} \right| = \frac{v}{2} \left| \frac{(L + L_1) - L}{L(L + L_1)} \right|$.
$f_b = \frac{v}{2} \left( \frac{L_1}{L(L + L_1)} \right) = \frac{vL_1}{2L(L + L_1)}$.

(C) ટ્યુનિંગ ફોર્ક તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ '$n$' ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં રહેલી આવૃત્તિઓ સાથે અનુનાદ કરે છે.
આને હાર્મોનિક્સ અથવા ઓવરટોન્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = 288$ Hz છે.
અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f = k \times n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$
$k = 1$ માટે, $f = 1 \times 288 = 288$ Hz.
$k = 2$ માટે, $f = 2 \times 288 = 576$ Hz.
$k = 3$ માટે, $f = 3 \times 288 = 864$ Hz.
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
વિકલ્પ $A$ ($288$ Hz) એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે $(k=1)$.
વિકલ્પ $B$ ($576$ Hz) એ બીજો હાર્મોનિક છે $(k=2)$.
વિકલ્પ $D$ ($864$ Hz) એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે $(k=3)$.
વિકલ્પ $C$ ($844$ Hz) એ $288$ Hz નો પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી $(844 / 288 \approx 2.93)$.
તેથી, ટ્યુનિંગ ફોર્ક $844$ Hz ની આવૃત્તિ સાથે અનુનાદ કરશે નહીં.

(A) તાર $A$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_A = 256 \text{ Hz}$ છે.
તાર $A$ નો ત્રીજો હાર્મોનિક $3 \times f_A = 3 \times 256 = 768 \text{ Hz}$ છે.
તાર $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_B = 382 \text{ Hz}$ છે.
તાર $B$ નો બીજો હાર્મોનિક $2 \times f_B = 2 \times 382 = 764 \text{ Hz}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|768 - 764| = 4 \text{ Hz}$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ સંભળાય છે.
તેથી, $2$ સેકન્ડમાં સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $4 \times 2 = 8$ થશે.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ શરત મુજબ, બીટ આવૃત્તિ $|\nu - 200| = 6$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $\nu = 200 \pm 6$, તેથી $\nu = 206 \text{ Hz}$ અથવા $\nu = 194 \text{ Hz}$ થાય.
પગલું $2$: બીજી શરત મુજબ, બીજા હાર્મોનિક $2\nu$ માટે બીટ આવૃત્તિ $|2\nu - 420| = 8$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $2\nu = 420 \pm 8$, તેથી $2\nu = 428 \text{ Hz}$ અથવા $2\nu = 412 \text{ Hz}$ થાય.
પગલું $3$: બીજી શરત માટે $\nu$ શોધતા $\nu = 214 \text{ Hz}$ અથવા $\nu = 206 \text{ Hz}$ મળે છે.
પગલું $4$: બંને શરતોના પરિણામોની સરખામણી કરતા, સામાન્ય મૂલ્ય $\nu = 206 \text{ Hz}$ છે.