Sound Waves (Longitudinal wave) and it’s Characteristics (Speed etc.) Questions in Gujarati

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને દબાણ $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
આપેલ છે: $T = 273 \ K$ ($NTP$ પર), $\gamma = 1.5$, $\Delta p = 0.001 \ dyne/cm^2$, $p = 1.013 \times 10^6 \ dyne/cm^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times \frac{10^{-3}}{1.013 \times 10^6} = 273 \times \frac{1}{3} \times 0.987 \times 10^{-9} \approx 8.97 \times 10^{-8} \ K$.

(C) કારની ઝડપ $v_c = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ છે.
$t = 10 \,s$ માં, કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $d_c = v_c \times t = 20 \times 10 = 200 \,m$ છે.
શરૂઆતમાં, કાર ટેકરીથી $1800 \,m$ દૂર છે. $10 \,s$ પછી, કાર ટેકરીની નજીક $200 \,m$ આગળ વધે છે, તેથી ટેકરીથી તેનું નવું અંતર $1800 - 200 = 1600 \,m$ થાય છે.
ધ્વનિ કારથી ટેકરી સુધી $(1800 \,m)$ જાય છે અને પછી પરાવર્તિત થઈને કારના નવા સ્થાને $(1600 \,m)$ પાછો આવે છે.
ધ્વનિ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $D = 1800 \,m + 1600 \,m = 3400 \,m$ છે.
સમય $10 \,s$ હોવાથી, ધ્વનિની ઝડપ $v_s = \frac{D}{t} = \frac{3400}{10} = 340 \,m/s$ થાય.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ દબાણ $p$ થી સ્વતંત્ર છે અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $v \propto \sqrt{T}$.
આપેલ પ્રારંભિક શરતો: $T_1 = T$ અને $v_1 = v$.
આપેલ અંતિમ શરતો: $T_2 = 2 T$ અને $p_2 = \frac{p}{2}$.
ધ્વનિની ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર હોવાથી, દબાણમાં થતો ફેરફાર ઝડપને અસર કરતું નથી.
$v \propto \sqrt{T}$ ના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{2 T}{T}} = \sqrt{2}$
તેથી, $v_2 = \sqrt{2} v$.

(C) આપેલ છે: પથ તફાવત $\Delta x = 50 \ cm = 0.5 \ m$, કળા તફાવત $\Delta \phi = 1.8 \pi$, ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \ ms^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પથ તફાવત અને કળા તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \cdot \Delta \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.5 = \frac{\lambda}{2 \pi} \times 1.8 \pi$.
$0.5 = \lambda \times 0.9 \Rightarrow \lambda = \frac{0.5}{0.9} = \frac{5}{9} \ m$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{340}{5/9} = \frac{340 \times 9}{5} = 68 \times 9 = 612 \ Hz$.

(C) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ એ તેને ઉત્પન્ન કરનાર ઉદગમનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં (દા.ત. હવા માંથી પાણીમાં) જાય છે, ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે, પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી, જળાશયના તળિયે તરંગની આવૃત્તિ $v \text{ Hz}$ જ રહેશે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ સંબંધ પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે ધ્વનિનો વેગ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $v \propto \sqrt{T}$.
(ii) $v = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ સંબંધ પરથી, જો ઘનતા $\rho$ અચળ રાખવામાં આવે, તો ધ્વનિનો વેગ દબાણ $p$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $v \propto \sqrt{p}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $B$ અને $C$ બંને તારવેલા સંબંધોના આધારે ભૌતિક રીતે સાચા વિધાનો છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે।
નોંધો કે આદર્શ વાયુ માટે ધ્વનિનો વેગ દબાણથી સ્વતંત્ર છે।
આપેલ છે:
$T_1 = 273 + 20 = 293 \text{ K}$
$T_2 = 273 + 40 = 313 \text{ K}$
$v_1 = 344.2 \text{ m/s}$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$v_2 = v_1 \sqrt{\frac{313}{293}}$
$v_2 = 344.2 \times \sqrt{1.06826}$
$v_2 \approx 344.2 \times 1.03356$
$v_2 \approx 355.75 \text{ m/s} \approx 356 \text{ m/s}$.

(D) ધાતુના સળિયામાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ છે, જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા, આપણને $\frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{2} \frac{\Delta Y}{Y} - \frac{1}{2} \frac{\Delta \rho}{\rho}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 1\%$ અને $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.5\%$.
આ કિંમતો મૂકતા, ઝડપમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{1}{2}(1\%) - \frac{1}{2}(0.5\%) = 0.5\% - 0.25\% = 0.25\%$ થાય છે.
ઝડપમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = \frac{0.25}{100} \times 400 \ m/s = 1 \ m/s$.
અંતિમ ઝડપ $V_{final} = V + \Delta V = 400 + 1 = 401 \ m/s$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\gamma$, $R$, અને $M$ અચળ હોવાથી, $V \propto \sqrt{T}$, જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વેગ બમણો થાય છે, જો $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ પર $V_1 = V_0$ હોય, તો $T_2 = (\alpha + 273) \ K$ પર $V_2 = 2V_0$ થાય.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_0}{2V_0} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{273}{T_2}$.
તેથી, $T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$.
કારણ કે $T_2 = \alpha + 273$, તેથી $\alpha = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.

(A) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
જ્યારે ભેજ વધે છે, ત્યારે પાણીની વરાળ (જેનું મોલર દળ $18 \ g/mol$ છે) સૂકી હવા (જેનું સરેરાશ મોલર દળ આશરે $29 \ g/mol$ છે) નું સ્થાન લે છે.
આ ફેરબદલને કારણે હવાનું કુલ ઘનત્વ $\rho$ ઘટે છે.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$, ઘનતામાં ઘટાડો થવાથી ધ્વનિની ઝડપમાં વધારો થાય છે.
તેથી, જેમ ભેજ વધે છે તેમ ધ્વનિ તરંગોની ઝડપ વધે છે.

(B) વાયુમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે ઘનતા $\rho$ અચળ રહે છે, તેથી અવાજની ઝડપ $v$ એ દબાણના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $v \propto \sqrt{P}$.
ધારો કે $P_1$ દબાણે અવાજની ઝડપ $v_1$ છે અને $P_2$ દબાણે અવાજની ઝડપ $v_2$ છે.
તેથી, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$.
પ્રશ્ન મુજબ, $v_2 = 1.4 v_1$, તેથી $\frac{v_2}{v_1} = 1.4$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1.4 = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે: $(1.4)^2 = \frac{P_2}{P_1}$.
તેથી, $\frac{P_2}{P_1} = 1.96$.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ (વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર), $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક, $T$ એ તાપમાન અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે $T = 295 \text{ K}$ આપેલ છે, તેથી હિલિયમ $(v_{He})$ અને નાઈટ્રોજન $(v_{N_2})$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He} R T / M_{He}}{\gamma_{N_2} R T / M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He}}{\gamma_{N_2}} \cdot \frac{M_{N_2}}{M_{He}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\gamma_{He} = 5/3$, $\gamma_{N_2} = 7/5$, $M_{He} = 4$, $M_{N_2} = 28$.
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{28}{4}} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot 7} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે, જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે, $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
મોનોએટોમિક વાયુઓ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોય છે, એટલે કે $\gamma = 5/3$.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર હોવાથી, વાયુ '$1$' માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_1)$ અને વાયુ '$2$' માં ધ્વનિની ઝડપ $(v_2)$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ થશે:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma RT}{m_1}}}{\sqrt{\frac{\gamma RT}{m_2}}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
આમ, વાયુ '$1$' અને વાયુ '$2$' માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ છે.

(B) ધારો કે વ્યક્તિ પ્રથમ ખડકથી $d_1$ અંતરે અને બીજા ખડકથી $d_2$ અંતરે છે.
પ્રથમ પડઘા માટે લાગતો સમય $t_1 = 1$ સેકન્ડ છે. ધ્વનિ વ્યક્તિ સુધી પાછા ફરવા માટે $2d_1$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી, $2d_1 = v \times t_1 = 330 \times 1 = 330$ m.
$d_1 = 165$ m.
બીજા પડઘા માટે લાગતો સમય $t_2 = 3$ સેકન્ડ છે. ધ્વનિ વ્યક્તિ સુધી પાછા ફરવા માટે $2d_2$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી, $2d_2 = v \times t_2 = 330 \times 3 = 990$ m.
$d_2 = 495$ m.
બે ખડકો વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = d_1 + d_2 = 165 + 495 = 660$ m થાય.

(C) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
સંબંધ $\lambda = v/f$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે:
ગરમ હવા માટે: $\lambda_1 = v_1 / f = 350 / 700 = 0.5 \text{ m}$.
પિત્તળ માટે: $\lambda_2 = v_2 / f = 3500 / 700 = 5 \text{ m}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\lambda_2 / \lambda_1 = 5 / 0.5 = 10$ છે.
તેથી, તરંગલંબાઈ $10$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(D) ધારો કે ધ્વનિનો વેગ $v$ છે. બે સ્ત્રોતોની આવૃત્તિઓ $f_1 = v / \lambda_1$ અને $f_2 = v / \lambda_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda_1 = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$ અને $\lambda_2 = 50.5 \text{ cm} = 0.505 \text{ m}$ આપેલ છે.
આવૃત્તિઓનો તફાવત $f_1 - f_2 = 6 \text{ Hz}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v / 0.5 - v / 0.505 = 6$.
$v(2 - 1.98) = 6$ (આશરે).
$v(0.02) = 6$.
તેથી, $v = 300 \text{ m/s}$.